{"id":920,"date":"2012-05-31T17:43:15","date_gmt":"2012-05-31T16:43:15","guid":{"rendered":"http:\/\/www.conpermisodelareina.com\/?p=920"},"modified":"2012-05-31T17:43:15","modified_gmt":"2012-05-31T16:43:15","slug":"probabilidad-de-cara","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.conpermisodelareina.com\/?p=920","title":{"rendered":"La probabilidad de cara"},"content":{"rendered":"

El partido de la final del campeonato del mundo\u2011mundial de f\u00fatbol disputado entre Futbolia y Golanda acab\u00f3 en empate despu\u00e9s de la pr\u00f3rroga y tuvo que decidirse por el m\u00e9todo de lanzamiento de penaltis. Despu\u00e9s de una ronda de cinco lanzamientos para cada equipo, Golanda acab\u00f3 perdiendo. Al d\u00eda siguiente present\u00f3 una reclamaci\u00f3n formal ante la Federaci\u00f3n Universal de F\u00fatbol Asociaci\u00f3n (FUFA) porque el procedimiento de los penaltis no hab\u00eda sido correcto: el sorteo inicial para decidir qu\u00e9 equipo comenzaba lanzando no fue justo.<\/p>\n

La oficina de reclamaciones de la FUFA argument\u00f3 que la protesta finalmente no ser\u00eda admitida, dado que, a la postre, es indiferente qu\u00e9 equipo comience lanzando. Los delegados de Golanda explicaron que, lejos de ser indiferente, es crucial qu\u00e9 equipo comienza los lanzamientos: el primero tiene ventaja<\/a> en el torneo de los penaltis. <\/p>\n

 <\/p>\n

Dado que cada lanzamiento se realiza en id\u00e9nticas circunstancias para cada bando cabe pensar a priori que los dos equipos tienen la misma probabilidad de ganar los penaltis. Sin embargo, un estudio reciente \u2013publicado en 2010<\/a>\u2011 hall\u00f3 una diferencia significativa e importante. Despu\u00e9s de analizar 269 eliminatorias de penaltis en ligas y campeonatos de todo el mundo entre 1970 y 2008, la investigaci\u00f3n concluye que el equipo que lanza primero gana un 60.5%\u00a0de las veces. Si no el dato concreto, la ventaja comparativa del primero debe ser bien conocida entre los profesionales. As\u00ed lo prueba el hecho de que el equipo favorecido por el sorteo inicial \u2013seg\u00fan el reglamento puede elegir si lanza primero o segundo\u2011 escoge comenzar disparando, pr\u00e1cticamente en el 100% <\/a>de los casos.<\/p>\n

Puesto que la cuesti\u00f3n del orden es sustancial, Golanda s\u00ed ten\u00eda un caso que presentar y la FUFA tuvo que escuchar sus alegaciones sobre lo injusto del sorteo que decidi\u00f3 la secuencia de disparos. Seg\u00fan el reglamento oficial<\/a> del f\u00fatbol, para decidir ese orden el \u00e1rbitro \u201clanzar\u00e1 una moneda al aire y el capit\u00e1n del equipo que resulte favorecido decidir\u00e1 si ejecutar el primer o segundo tiro\u201d. Al visionar la grabaci\u00f3n del momento del sorteo, se observa como el \u00e1rbitro lanza con fuerza una moneda \u2011que gira numerosas veces en el aire\u2011, y despu\u00e9s la atrapa entre las palmas de las manos. Todo resulta aut\u00e9ntico: cara o cruz, 50-50, igual chance para ambos lados. Una moneda lanzada as\u00ed representa la imagen genuina del puro azar.<\/p>\n

Sin embargo, los reclamantes plantearon que el lanzamiento estaba sesgado: una moneda lanzada hacia arriba girando con rapidez y que se recoge en el aire con la mano\u2026 no tiene igual probabilidad para la cara y la cruz. Suena demasiado revelador, tanto que se debe justificar cuidadosamente la alegaci\u00f3n.<\/p>\n

La representaci\u00f3n del justo azar mediante el lanzamiento de una moneda es, desde luego, conceptualmente v\u00e1lida. Sin embargo, en la pr\u00e1ctica, el lanzamiento de una moneda se convierte en un problema de f\u00edsica \u2013del movimiento de los s\u00f3lidos r\u00edgidos, en concreto. Su soluci\u00f3n se conoce desde el siglo del\u00a0gran\u00a0Euler \u2011el XVIII\u2011 y no tiene nada de aleatoria. En efecto, si se conoce con precisi\u00f3n la configuraci\u00f3n de la moneda \u2013orientaci\u00f3n, velocidad\u2011 en el momento en que se lanza, su vuelo en el aire est\u00e1 completamente determinado. Si se consigue repetir el lanzamiento con las mismas condiciones de salida \u2011evitando que al caer rebote o ruede sobre una superficie dura\u2011 el resultado del aterrizaje de la moneda ser\u00e1 invariablemente el mismo. El matem\u00e1tico Persi Diaconis<\/a> hizo construir un sencillo aparato lanzamonedas que permite ajustar con precisi\u00f3n las condiciones de partida. Con el debido ajuste, la m\u00e1quina emula \u2011con apariencia totalmente natural\u2011 el lanzamiento de una moneda que sale de cara y aterriza de cara\u2026 siempre. La m\u00e1quina trabaja de modo tan realista que el espect\u00e1culo, seg\u00fan Diaconis, resulta de lo m\u00e1s perturbador: es la sensaci\u00f3n de ponerse a lanzar una y otra vez una moneda al aire y comprobar que sale cara, cara, cara,\u2026\u00a0\u00a0\u00a0M\u00e1s que inquietante, desde luego -como dijo alguien, “si me salen todo caras, es que estoy en el infierno”.\u00a0Hasta que uno recuerda que el movimiento de la moneda en el aire es pura f\u00edsica predecible, sin azar involucrado.<\/p>\n

La raz\u00f3n de que los lanzamientos naturales \u2013realizados por \u00e1rbitros, por ejemplo\u2011 parecen comportarse de modo aleatorio se debe, claro, a que los humanos no tienen el fino control de la m\u00e1quina de Diaconis. La incertidumbre cuando una persona lanza la moneda procede de la variaci\u00f3n \u2013tambi\u00e9n aleatoria\u2011 al escoger las condiciones de partida. Eligiendo descuidadamente el impulso y la velocidad de giro iniciales, el resultado final ser\u00e1 incierto. De hecho, en la situaci\u00f3n ideal en que el impulso y el giro son muy veloces y \u00e9ste se produce exactamente alrededor de un eje sobre la moneda, las probabilidades de cara y cruz son pr\u00e1cticamente iguales. As\u00ed se desprende del trabajo te\u00f3rico de los matem\u00e1ticos (Keller en 1986 y Engel en 1992): un lanzamiento natural \u2013a unos 4 metros por segundo y girando unas 40 veces por segundo, que dura cerca de medio segundo y alcanza unos 30 cm de altura \u2011 tiene una probabilidad entre 44.4% y 55.6% de caer del mismo lado que despeg\u00f3.<\/p>\n

Determinado a responder la pregunta \u201c\u00bfcu\u00e1l es la probabilidad de cada cara en un lanzamiento natural?\u201d, Diaconis elimin\u00f3 la hip\u00f3tesis ideal de que la moneda gira exactamente alrededor de un eje situado sobre su plano. En los lanzamientos reales, el eje de giro cambia a lo largo del vuelo de la moneda \u2013 es lo que se conoce como precesi\u00f3n. Es el mismo movimiento de cabeceo de una peonza alrededor de la vertical o de la Tierra respecto de su eje. Teniendo en cuenta la precesi\u00f3n, Diaconis \u2013con los matem\u00e1ticos Susan Holmes y Richard Montgomery\u2013 hall\u00f3 la probabilidad exacta de que la moneda ense\u00f1e la misma cara al caer que al salir. En su fant\u00e1stica f\u00f3rmula expresan la probabilidad de cara \u2013suponiendo que sali\u00f3 con cara\u2011 en funci\u00f3n de la precesi\u00f3n. Si existe precesi\u00f3n, demuestran que una moneda dando la cara que se lanza con tiempo de vuelo y spin grandes tiene siempre m\u00e1s probabilidades de caer de cara que de cruz. La raz\u00f3n grosso modo <\/em>es que pasar\u00e1 mayor parte del tiempo total de vuelo con la cara hacia arriba.<\/p>\n

As\u00ed que, de entrada, en un lanzamiento basta apostar siempre por el lado que muestra la moneda al despegar \u2013que se ha podido visualizar de soslayo\u2011 para tener ventaja en el lance. S\u00f3lo en el caso muy especial en que no hay precesi\u00f3n, las probabilidades est\u00e1n igualadas.<\/p>\n

La certeza de esa afirmaci\u00f3n no es estad\u00edstica o experimental sino te\u00f3rica, obtenida matem\u00e1ticamente a partir de las leyes de la f\u00edsica. Para trasladarla a una afirmaci\u00f3n cuantitativa del sesgo en una moneda real, hay que calibrar la precesi\u00f3n en los lanzamientos que hacen las personas. En un estudio emp\u00edrico, Diaconis y sus colaboradores hallaron que hay la suficiente precesi\u00f3n en los lanzamientos naturales como para que haya una desviaci\u00f3n de un 1% a favor del lado de salida de la moneda. As\u00ed que si la moneda sale de cara, la probabilidad de cara al atraparla en el aire no es 50%, sino 51%.<\/p>\n

El resultado del 51% parece dar raz\u00f3n a los golandeses sobre la parcialidad del sorteo de la final del f\u00fatbol. En efecto, despu\u00e9s de mostrar la cara de la moneda a los dos jugadores y preguntar primero al capit\u00e1n de Futbolia, que eligi\u00f3 la cara, el \u00e1rbitro lanz\u00f3 con fuerza la moneda y la recogi\u00f3 en el aire \u2013un lanzamiento tipo Diaconis, as\u00ed que sesgado casi seguro. El ganador del sorteo \u2013Futbolia\u2011 eligi\u00f3 comenzar lanzando y acab\u00f3 ganando la final. Golanda sugiere que la tanda de penaltis podr\u00eda tener que repetirse, desde el sorteo.<\/p>\n

Sin embargo, un t\u00e9cnico de la FUFA informa de un peque\u00f1o detalle: despu\u00e9s del momento en que el \u00e1rbitro muestra la moneda a los capitanes, la encierra y la sacude brevemente entre las dos manos antes de lanzarla desde la palma de la derecha, de modo que no se puede saber si la moneda sali\u00f3 de cara o de cruz. En ese caso, la probabilidad de que salga cara es la probabilidad de que salga cara si despeg\u00f3 de cara sumada a la probabilidad de que salga cara si despeg\u00f3 de cruz. Es decir, la probabilidad de cara es 0.51\u00d70.5+0.49\u00d70.5=… 0.5 y, por tanto, \u00a1igual para la cara y para la cruz! El sesgo en el lanzamiento que introduce la f\u00edsica se borra al introducir un mecanismo aleatorio sencillo.<\/p>\n

Finalmente, el sorteo s\u00ed fue v\u00e1lido y el ganador tambi\u00e9n. Pero s\u00f3lo gracias al gesto \u2011quiz\u00e1 inadvertido\u2011 del \u00e1rbitro y a la perspicacia del t\u00e9cnico de la FUFA. En general, un sorteo en que el \u00e1rbitro muestra la moneda mientras\u00a0da a elegir lado a los capitanes y desde esa posici\u00f3n la lanza sin trampa para recogerla en la palma de una mano es completamente legal seg\u00fan el reglamento de la FUFA \u2011que no espec\u00edfica c\u00f3mo debe lanzarse la moneda\u2011, pero puede ser espurio. Si el primero en elegir acecha el lado de salida de la moneda y conoce el resultado de Diaconis, tendr\u00e1 ventaja en el sorteo y la eliminatoria.<\/p>\n

\u00a0P.S.: En la pr\u00e1ctica, los \u00e1rbitros de f\u00fatbol siempre lanzan con fuerza la moneda al aire y la dejan caer sobre la hierba, en lugar de cogerla en la palma de la mano. El an\u00e1lisis matem\u00e1tico anterior se debe considerar v\u00e1lido, puesto que la superficie de aterrizaje es mullida e impide rebotes o rodamientos tras la llegada, que pueden introducir incertidumbre significativa y distorsionar la predicci\u00f3n de la probabilidad de cara.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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