La probabilidad de cara
El partido de la final del campeonato del mundo‑mundial de fútbol disputado entre Futbolia y Golanda acabó en empate después de la prórroga y tuvo que decidirse por el método de lanzamiento de penaltis. Después de una ronda de cinco lanzamientos para cada equipo, Golanda acabó perdiendo. Al día siguiente presentó una reclamación formal ante la Federación Universal de Fútbol Asociación (FUFA) porque el procedimiento de los penaltis no había sido correcto: el sorteo inicial para decidir qué equipo comenzaba lanzando no fue justo.
La oficina de reclamaciones de la FUFA argumentó que la protesta finalmente no sería admitida, dado que, a la postre, es indiferente qué equipo comience lanzando. Los delegados de Golanda explicaron que, lejos de ser indiferente, es crucial qué equipo comienza los lanzamientos: el primero tiene ventaja en el torneo de los penaltis.
Dado que cada lanzamiento se realiza en idénticas circunstancias para cada bando cabe pensar a priori que los dos equipos tienen la misma probabilidad de ganar los penaltis. Sin embargo, un estudio reciente –publicado en 2010‑ halló una diferencia significativa e importante. Después de analizar 269 eliminatorias de penaltis en ligas y campeonatos de todo el mundo entre 1970 y 2008, la investigación concluye que el equipo que lanza primero gana un 60.5% de las veces. Si no el dato concreto, la ventaja comparativa del primero debe ser bien conocida entre los profesionales. Así lo prueba el hecho de que el equipo favorecido por el sorteo inicial –según el reglamento puede elegir si lanza primero o segundo‑ escoge comenzar disparando, prácticamente en el 100% de los casos.
Puesto que la cuestión del orden es sustancial, Golanda sí tenía un caso que presentar y la FUFA tuvo que escuchar sus alegaciones sobre lo injusto del sorteo que decidió la secuencia de disparos. Según el reglamento oficial del fútbol, para decidir ese orden el árbitro “lanzará una moneda al aire y el capitán del equipo que resulte favorecido decidirá si ejecutar el primer o segundo tiro”. Al visionar la grabación del momento del sorteo, se observa como el árbitro lanza con fuerza una moneda ‑que gira numerosas veces en el aire‑, y después la atrapa entre las palmas de las manos. Todo resulta auténtico: cara o cruz, 50-50, igual chance para ambos lados. Una moneda lanzada así representa la imagen genuina del puro azar.
Sin embargo, los reclamantes plantearon que el lanzamiento estaba sesgado: una moneda lanzada hacia arriba girando con rapidez y que se recoge en el aire con la mano… no tiene igual probabilidad para la cara y la cruz. Suena demasiado revelador, tanto que se debe justificar cuidadosamente la alegación.
La representación del justo azar mediante el lanzamiento de una moneda es, desde luego, conceptualmente válida. Sin embargo, en la práctica, el lanzamiento de una moneda se convierte en un problema de física –del movimiento de los sólidos rígidos, en concreto. Su solución se conoce desde el siglo del gran Euler ‑el XVIII‑ y no tiene nada de aleatoria. En efecto, si se conoce con precisión la configuración de la moneda –orientación, velocidad‑ en el momento en que se lanza, su vuelo en el aire está completamente determinado. Si se consigue repetir el lanzamiento con las mismas condiciones de salida ‑evitando que al caer rebote o ruede sobre una superficie dura‑ el resultado del aterrizaje de la moneda será invariablemente el mismo. El matemático Persi Diaconis hizo construir un sencillo aparato lanzamonedas que permite ajustar con precisión las condiciones de partida. Con el debido ajuste, la máquina emula ‑con apariencia totalmente natural‑ el lanzamiento de una moneda que sale de cara y aterriza de cara… siempre. La máquina trabaja de modo tan realista que el espectáculo, según Diaconis, resulta de lo más perturbador: es la sensación de ponerse a lanzar una y otra vez una moneda al aire y comprobar que sale cara, cara, cara,… Más que inquietante, desde luego -como dijo alguien, “si me salen todo caras, es que estoy en el infierno”. Hasta que uno recuerda que el movimiento de la moneda en el aire es pura física predecible, sin azar involucrado.
La razón de que los lanzamientos naturales –realizados por árbitros, por ejemplo‑ parecen comportarse de modo aleatorio se debe, claro, a que los humanos no tienen el fino control de la máquina de Diaconis. La incertidumbre cuando una persona lanza la moneda procede de la variación –también aleatoria‑ al escoger las condiciones de partida. Eligiendo descuidadamente el impulso y la velocidad de giro iniciales, el resultado final será incierto. De hecho, en la situación ideal en que el impulso y el giro son muy veloces y éste se produce exactamente alrededor de un eje sobre la moneda, las probabilidades de cara y cruz son prácticamente iguales. Así se desprende del trabajo teórico de los matemáticos (Keller en 1986 y Engel en 1992): un lanzamiento natural –a unos 4 metros por segundo y girando unas 40 veces por segundo, que dura cerca de medio segundo y alcanza unos 30 cm de altura ‑ tiene una probabilidad entre 44.4% y 55.6% de caer del mismo lado que despegó.
Determinado a responder la pregunta “¿cuál es la probabilidad de cada cara en un lanzamiento natural?”, Diaconis eliminó la hipótesis ideal de que la moneda gira exactamente alrededor de un eje situado sobre su plano. En los lanzamientos reales, el eje de giro cambia a lo largo del vuelo de la moneda – es lo que se conoce como precesión. Es el mismo movimiento de cabeceo de una peonza alrededor de la vertical o de la Tierra respecto de su eje. Teniendo en cuenta la precesión, Diaconis –con los matemáticos Susan Holmes y Richard Montgomery– halló la probabilidad exacta de que la moneda enseñe la misma cara al caer que al salir. En su fantástica fórmula expresan la probabilidad de cara –suponiendo que salió con cara‑ en función de la precesión. Si existe precesión, demuestran que una moneda dando la cara que se lanza con tiempo de vuelo y spin grandes tiene siempre más probabilidades de caer de cara que de cruz. La razón grosso modo es que pasará mayor parte del tiempo total de vuelo con la cara hacia arriba.
Así que, de entrada, en un lanzamiento basta apostar siempre por el lado que muestra la moneda al despegar –que se ha podido visualizar de soslayo‑ para tener ventaja en el lance. Sólo en el caso muy especial en que no hay precesión, las probabilidades están igualadas.
La certeza de esa afirmación no es estadística o experimental sino teórica, obtenida matemáticamente a partir de las leyes de la física. Para trasladarla a una afirmación cuantitativa del sesgo en una moneda real, hay que calibrar la precesión en los lanzamientos que hacen las personas. En un estudio empírico, Diaconis y sus colaboradores hallaron que hay la suficiente precesión en los lanzamientos naturales como para que haya una desviación de un 1% a favor del lado de salida de la moneda. Así que si la moneda sale de cara, la probabilidad de cara al atraparla en el aire no es 50%, sino 51%.
El resultado del 51% parece dar razón a los golandeses sobre la parcialidad del sorteo de la final del fútbol. En efecto, después de mostrar la cara de la moneda a los dos jugadores y preguntar primero al capitán de Futbolia, que eligió la cara, el árbitro lanzó con fuerza la moneda y la recogió en el aire –un lanzamiento tipo Diaconis, así que sesgado casi seguro. El ganador del sorteo –Futbolia‑ eligió comenzar lanzando y acabó ganando la final. Golanda sugiere que la tanda de penaltis podría tener que repetirse, desde el sorteo.
Sin embargo, un técnico de la FUFA informa de un pequeño detalle: después del momento en que el árbitro muestra la moneda a los capitanes, la encierra y la sacude brevemente entre las dos manos antes de lanzarla desde la palma de la derecha, de modo que no se puede saber si la moneda salió de cara o de cruz. En ese caso, la probabilidad de que salga cara es la probabilidad de que salga cara si despegó de cara sumada a la probabilidad de que salga cara si despegó de cruz. Es decir, la probabilidad de cara es 0.51×0.5+0.49×0.5=… 0.5 y, por tanto, ¡igual para la cara y para la cruz! El sesgo en el lanzamiento que introduce la física se borra al introducir un mecanismo aleatorio sencillo.
Finalmente, el sorteo sí fue válido y el ganador también. Pero sólo gracias al gesto ‑quizá inadvertido‑ del árbitro y a la perspicacia del técnico de la FUFA. En general, un sorteo en que el árbitro muestra la moneda mientras da a elegir lado a los capitanes y desde esa posición la lanza sin trampa para recogerla en la palma de una mano es completamente legal según el reglamento de la FUFA ‑que no específica cómo debe lanzarse la moneda‑, pero puede ser espurio. Si el primero en elegir acecha el lado de salida de la moneda y conoce el resultado de Diaconis, tendrá ventaja en el sorteo y la eliminatoria.
P.S.: En la práctica, los árbitros de fútbol siempre lanzan con fuerza la moneda al aire y la dejan caer sobre la hierba, en lugar de cogerla en la palma de la mano. El análisis matemático anterior se debe considerar válido, puesto que la superficie de aterrizaje es mullida e impide rebotes o rodamientos tras la llegada, que pueden introducir incertidumbre significativa y distorsionar la predicción de la probabilidad de cara.