Feliz común cumpleaños

Paloma está entusiasmada tras la celebración de su octavo cumpleaños en el cole con sus compañeros de clase: ¡otro niño en su clase cumple años el mismo día que ella!  Tal coincidencia suele resultar encantadoramente sorprendente ‑para cualquiera, con 8 años o no‑ porque la intuición induce a pensar que es algo excepcional. Con 365 posibles fechas de cumpleaños –sin contar el escaso 29 de febrero‑, la repetición en efecto parece extraordinaria en un grupo como la clase de Paloma, donde sólo hay 28 niños. En términos más objetivos, la sorpresa puede ser sólo aparente si se precisa qué se entiende por extraordinario.

La sorpresa de Paloma –o de cualquiera– en realidad sólo debería aparecer porque el número de candidatos cumpleañeros es pequeño. Basta observar –no será un pensamiento habitual– que en una sala llena con un aforo de más de 365 personas es seguro que dos compartirán día de cumpleaños. Para convencerse, sólo hay que colocar mentalmente cada una de las “palomas” de la sala en el día de su cumpleaños; como hay más días que palomas, al finalizar es seguro que al menos dos estarán situadas en el mismo día, compartiendo fecha de aniversario. El sencillo argumento lógico se conoce precisamente como el “principio del palomar”. Sirve para mostrar, por ejemplo, que es seguro que al menos dos de las siete personas que viajan en mi vagón se bajarán a la vez en una de las cinco paradas que hará el tren. O que, en una fiesta de más de 12 personas, es seguro que al menos dos compartirán el mismo signo del zodiaco, otra coincidencia que se suele tomar con cierta sorpresa ‑injustificada si la fiesta es un poco numerosa.

En fin, como la coincidencia del cumpleaños sólo es segura a partir de 366, la sorpresa de Paloma en su clase de 28 parece de sobra justificada. Pero las cosas que se observan  –porque son las que ocurren‑ no sólo son las que ocurren seguramente sino las que ocurren probablemente. Y entonces lo que resulta extraordinario no es lo que no es seguro sino lo que es improbable: cuanto más improbable más extraordinario. No se trata entonces de saber cuándo es segura la coincidencia sino de cuándo es muy probable.

Un razonamiento básico permite calcular la probabilidad exacta de la coincidencia de dos cumpleaños según el tamaño del grupo. En un grupo de dos, para que el segundo no coincida con el primero hay 364 posibilidades sobre 365, que es una probabilidad del 99,73%, es decir, es prácticamente seguro que no coincidirán. Para que no coincidan en un grupo de tres, hay 363 posibilidades sobre 365 para el tercero por cada una de las 364 sobre 365 para el segundo, es decir, 364/365×363/365 o una probabilidad de 99,18%, otra vez, prácticamente seguro que no habrá coincidencia. En un grupo de cuatro, la probabilidad es 364/365×363/365×362/365 o del 98,36%, y de nuevo, casi seguro que no coincidirán… El método permite representar la probabilidad de coincidencia para cada tamaño del grupo multiplicando el correspondiente producto de términos que decrecen muy lentamente:

364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 × 360/365 × 359/365×… =

= 0.997 × 0.994  ×0.992 × 0.989 ×0.986 × 0.983 ×… 

Aparentemente, la probabilidad de coincidencia también parece decrecer muy lentamente con el número de personas… pero el producto de marras arroja una probabilidad de 49,27% en un grupo de… ¡23!  Así que con 23 personas es más probable que ocurra la coincidencia de dos cumpleaños que no lo haga.  En un grupo de tan sólo 57 la probabilidad de coincidencia es del 99%.  ¡En una clase de 57, lo absolutamente extraordinario ‑parecería increíble‑ es que no coincidieran dos cumpleaños!

En la clase de 28 niños de Paloma, la coincidencia no sólo no es extraordinaria sino que estaría casi 2 a 1 en las apuestas ‑ tiene una probabilidad de 65,45%. En caso de apostar, sin duda habría que hacerlo por la casualidad que sorprendió a Paloma –que entonces no parece gran cosa de excepcional.

¿O quizá sí? Mirado con más cuidado, lo que sorprendió a Paloma no fue la coincidencia de dos cumpleaños cualesquiera en el grupo, sino la del suyo con el de otro. No se trata de que dos coincidan sino de que lo hagan precisamente en un día concreto –el del cumple de Paloma. Ese sutil matiz cambia el cálculo de arriba: para que dos no cumplan ese mismo día hay 364 sobre 365, como antes. Pero para que tres no cumplan el mismo día de Paloma hay también 364 posibilidades sobre 365 para el segundo por cada 364 sobre 365 para el primero, es decir 364/365×364/365 o una probabilidad de 99,45%. En un grupo de cuatro, la probabilidad es 364/365×364/365×364/365 o del 99,18%. Puede parecer que los resultados de los sucesivos productos decaen lentamente, como arriba. Pero nada de eso: para que sea más probable que alguien comparta cumpleaños con Paloma que no -probabilidad de coincidencia superior al 50%-,…  ¡la clase debería ser de 254! Y para alcanzar una apuesta de 2 a 1 a favor de la coincidencia, de 400. En la clase de 28 de Paloma el nuevo producto arroja una probabilidad de… ¡92,86%! Así las cosas, es del todo extraordinario que alguien comparta cumpleaños con Paloma en su clase. ¡Una auténtica feliz casualidad!  ¡Felicidades, Paloma!

  1. Vane dice:

    Como siempre, que grande eres Pepe the King… Un ser realmente extraordinario… Un beso, amigo.

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